ASEGURAR.............11
Pues así como la moderna filosofía del lenguaje, para hallar el auténtico punto de partida de un estudio filosófico del lenguaje, ha formulado el concepto de la «forma lingüística interna», puede decirse que hay que buscar y presuponer también una «forma interna» análoga para la religión y el mito, para el arte y el conocimiento científico. Y esta forma no significa sólo la suma o el posterior compendio de los fenómenos particulares de este campo, sino la ley que condiciona su estructuración. En última instancia, no existe en verdad ningún otro camino para cerciorarse de esta ley que mostrarla en los fenómenos mismos y «abstraerla» de ellos; pero justamente esta abstracción muestra que la ley es un momento necesario y constitutivo de la existencia de lo individual en cuanto al contenido. En el transcurso de su historia, la filosofía ha permanecido siempre más o menos consciente de la tarea de un análisis y crítica semejantes de las formas particulares de la cultura, pero la mayor parte de las veces sólo ha emprendido partes de esta tarea, y eso con una intención más negativa que positiva. Frecuentemente, en esta crítica el esfuerzo se dirige menos a la exposición y fundamentación de los rendimientos positivos de cada forma individual, que al rechazo de falsas pretensiones. Desde los tiempos de la sofística griega existe una crítica escéptica del lenguaje, lo mismo que una crítica escéptica del mito y una crítica del conocimiento. Esta actitud esencialmente negativa se hace comprensible cuando se considera que, en efecto, cada forma fundamental del espíritu, al aparecer y desarrollarse, procura darse no como una parte sino como un todo, reclamando con ello una validez absoluta y no meramente relativa. No se conforma con su dominio particular, sino que trata de imprimir el sello peculiar que porta a la totalidad del ser y de la vida espiritual. De esta aspiración a lo incondicionado, inherente a toda dirección individual, resultan los conflictos de la cultura y las antinomias del concepto de la cultura. La ciencia surge en una forma de la reflexión que, antes de poder establecerse e imponerse, se ve forzada por todas partes a referirse a aquellas primeras asociaciones y separaciones del pensamiento que encontraron su primera expresión y cristalización en el lenguaje y en los conceptos lingüísticos generales. Pero puesto que emplea el lenguaje como material y fundamento, necesariamente lo trasciende al mismo tiempo. Un nuevo logos, guiado y regido por un principio distinto al del pensamiento lingüístico, aparece entonces estructurándose cada vez más definida e independientemente. En comparación con él, las estructuras del lenguaje no aparecen entonces sino como restricciones y barreras que deben ser progresivamente superadas por la fuerza y peculiaridad del nuevo principio. La crítica del lenguaje y de la forma lingüística del pensamiento se convierte en parte integrante del pensamiento científico y filosófico en avance. Y también en los restantes campos se repite este típico proceso de desarrollo. Las direcciones espirituales individuales no marchan pacíficamente la una junto a la otra tratando de complementarse mutuamente, sino que cada una llega a ser lo que es demostrando solamente su propia y peculiar fuerza hacia las otras y en lucha contra ellas. La religión y el arte se hallan tan cerca la una del otro en su actuación puramente histórica y de tal modo compenetradas, que ambas en ocasiones parecen volverse indiferenciables en cuanto a su contenido y su principio interno de creación. De los dioses de Grecia se ha dicho que deben su nacimiento a Homero y a Hesíodo. Pero, por otra parte, justamente el pensamiento religioso de los griegos, en su progreso ulterior, se separa cada vez más definidamente de su comienzo y fuente estéticos. Cada vez más decididamente se rebela desde Jenófanes contra el concepto mítico-poético y plástico-sensible de los dioses, reconocido y rechazado como antropomorfismo. En luchas y conflictos espirituales de este tipo, tal como se presentan en la historia cada vez con mayor aumento de intensidad, la decisión última parece recaer en la filosofía como suprema instancia de unidad. Pero los dogmáticos sistemas metafísicos satisfacen esta expectativa y exigencia sólo de manera imperfecta. Pues ellos mismos se hallan las más de las veces aún en medio de la lucha que aquí se lleva a cabo y no sobre ella: a pesar de cualquier universalidad conceptual a la que aspiran, sólo representan a una de las partes del conflicto, en lugar de comprenderlo y resolverlo en toda su amplitud y profundidad. Porque ellos mismos no son la mayoría de las veces otra cosa que hipóstasis metafísicas de un determinado principio lógico, estético o religioso. Entre más se encierran en la abstracta universalidad de este principio, tanto más se aíslan de los aspectos particulares de la cultura espiritual y de la totalidad concreta de sus formas. La reflexión filosófica sólo sería capaz de evitar el peligro de una oclusión semejante si lograra encontrar un punto de vista que se halle por encima de todas estas formas y que, por otra parte, no se encuentre meramente más allá de ellas: un punto de vista que haga posible abarcar de una mirada la totalidad de las mismas y que no trate de asegurar otra cosa que no sean las relaciones puramente inmanentes que guardan todas estas formas entre sí, y no la relación con un ser o principio externo «trascendente». Entonces surgiría un sistema filosófico del espíritu en el cual cada forma particular reciba su sentido de la mera posición en que se encuentre y en la cual su contenido y su significación estén caracterizados por la riqueza y peculiaridad de las relaciones y combinaciones en que se encuentre con otras energías espirituales y, finalmente, con su totalidad.	Cassirer Formas Simbólicas I Introducción
Pero, antes de que podamos seguir en detalle ese proceso gradual, es necesario responder a una pregunta metodológica previa general. Al preguntar por la forma y estructura de la conciencia teórica, ya el mero empleo del término está lleno de dificultades de todo tipo, pues el concepto de conciencia parece ser el auténtico Proteo de la filosofía. Aparece en todas sus diversas esferas de problemas, pero en ninguna de ellas presenta la misma configuración, sino que está sujeto a un cambio incesante de significación. A él recurren tanto la metafísica como la epistemología, la psicología empírica y la fenomenología pura. De esta múltiple ligazón interna del concepto de conciencia surgen y se desarrollan siempre disputas fronterizas entre las diversas regiones del pensamiento filosófico. El peligro de verse envuelto en estas dificultades es tanto mayor para nuestra propia cuestión sistemática, cuanto que su pertinencia a uno de los campos que disputan entre sí de ningún modo es segura desde el comienzo. La cuestión que se plantea la filosofía de las formas simbólicas tiene fuertes vínculos con otras cuestiones que tradicionalmente suelen atribuirse a la epistemología o a la psicología, a la metafísica o a la fenomenología. Aunque pueda reclamar una especie de autonomía metodológica y aunque tenga que intentar preparar y asegurar de modo independiente el terreno en que se plantea, no puede, empero, dejar de asomarse constantemente a esos campos. Si no queremos que la vinculación que siempre hallamos conduzca a una confusión, entonces tenemos que establecer con claridad en qué sentido se la busca y se la entiende. Si consideramos primero a la psicología, la línea divisoria parece dibujarse ligeramente, en tanto se vea la tarea de la psicología en la mera explicación empírico-causal de los fenómenos de la conciencia. Pues al igual que la epistemología pura en particular, la filosofía de las formas simbólicas en conjunto no pregunta por ese origen empírico de la conciencia, sino por su constitución pura. En lugar de rastrear las causas temporales de su surgimiento, se dirige simplemente a aquello "que yace en ella", a la aprehensión y descripción de sus formas estructurales. El lenguaje, el mito, el conocimiento teórico: todos ellos son tomados aquí como formas básicas del "espíritu objetivo", cuyo "ser" puede ser descubierto y entendido en sí, aparte de la cuestión de su "llegar a ser". Nos encontramos en el ámbito de la pregunta "trascendental" general: en el ámbito de esa metodología que sólo toma el quid facti de cada una de las diversas formas de conciencia como punto de partida para preguntar por su significado, por su quid juris. Pero, por otra parte, Kant mismo ha subrayado con insistencia que esta misma metodología de lo trascendental entraña dos distintas direcciones de consideración. "Una de ellas se refiere a los objetos del entendimiento puro y debe explicar la validez objetiva de sus conceptos a priori; la otra trata de considerar al entendimiento puro en sí mismo, según sus posibilidades y las facultades cognitivas en que se apoya, considerándolo, pues, en su aspecto subjetivo." De este modo Kant pudo unir los caminos de la "deducción subjetiva" y de la "deducción objetiva" sin temor a caer de nuevo en el idealismo psicologista, porque para él se había transformado decisivamente el sentido de la subjetividad misma. Pues para Kant la subjetividad "pura" tiene tan poco de individual y de empírico-fortuito, que se convierte más bien en fuente y origen de toda verdadera validez universal. La subjetividad del espacio y del tiempo sirve para fundamentar y asegurar la objetividad de la matemática, de los principios geométricos y aritméticos. De la misma manera, Kant recurre a la unidad trascendental de la apercepción sólo para hacer comprensible a partir y en virtud de ella la unidad de la naturaleza como un conjunto de leyes universales y necesarias. En este sentido es eliminada la antítesis entre sujeto y objeto al mostrar su necesaria interrelación en la estructura y constitución del objeto de la experiencia. El conflicto entre ambos cede el paso a una pura correlación. Pero ese conflicto amenaza con volver a plantearse si en lugar de dirigir nuestra pregunta exclusivamente al conocimiento científico, como privilegio de éste, la dirigimos a la totalidad de las formas de "comprensión del mundo". También aquí concebimos la subjetividad como un conjunto de funciones a partir de las cuales se estructura propiamente para nosotros el fenómeno de un "mundo" y su determinado orden de sentido. Pero ¿puede este "sentido" —cualquiera que sea la significación y validez que queramos atribuirle— aspirar al mismo tipo de validez universal que tenía en la esfera del conocimiento teórico y sus principios y axiomas? ¿O no está aquí la "aprioridad" constantemente en peligro de caer en otro plano, en la dimensión de lo "meramente subjetivo"? Este peligro puede mostrarse ya en aquel pensador que intentó por vez primera atenerse con todo rigor a la metodología de Kant, pero llevándola más allá de los límites de la imagen teórico-científica del mundo. El análisis del lenguaje se encuentra en Wilhelm von Humboldt siempre sometido al pensamiento guiador de que el contenido espiritual del lenguaje no puede ser nunca justipreciado plenamente si se considera su momento "objetivo"; si se le toma como un sistema de signos que debe servir para la descripción de los objetos y sus relaciones. "La diversidad de ánimo con que se interpreta —subraya Humboldt— da a los mismos sonidos una diversa intensidad de valor, y es como si sobre cada palabra flotara algo no absolutamente determinado por ella… Ni en los conceptos ni en el lenguaje mismo se encuentra algo aislado. Pero las relaciones entre los conceptos sólo aparecen realmente cuando el ánimo actúa en su unidad, cuando la subjetividad plena brilla frente a la completa objetividad. Cuando el alma empieza verdaderamente a sentir que el lenguaje no es meramente un medio de comunicación para darse a entender mutuamente, sino un verdadero mundo que el espíritu tiene que colocar entre él mismo y los objetos en virtud de su propia fuerza interna, se encuentra entonces en el camino correcto para hallar y colocar más en él." Aquí encontramos inequívocamente la referencia a una "subjetividad" de otro tipo, a una subjetividad que no se puede formular en principios ni desarrollar en un sistema de principios sintéticos a priori como en el caso del conocimiento teorético. El lenguaje no es concebido sólo como forma abstracta de pensamiento, sino que debe ser comprendida como forma concreta de vida; debe ser explicada no a partir de los objetos, sino a partir de la diversidad del "ánimo interpretativo". ¿Es acaso posible este viraje sin abandonarnos a la guía de la psicología? ¿No es ésta la que nos muestra el único camino posible que puede conducirnos del campo de la "subjetividad" abstracta al campo de la "subjetividad" concreta y que puede tender el puente entre la "forma de pensamiento" y la "forma de vida"?	Cassirer Formas Simbólicas III I
Pero, antes de que podamos seguir en detalle ese proceso gradual, es necesario responder a una pregunta metodológica previa general. Al preguntar por la forma y estructura de la conciencia teórica, ya el mero empleo del término está lleno de dificultades de todo tipo, pues el concepto de conciencia parece ser el auténtico Proteo de la filosofía. Aparece en todas sus diversas esferas de problemas, pero en ninguna de ellas presenta la misma configuración, sino que está sujeto a un cambio incesante de significación. A él recurren tanto la metafísica como la epistemología, la psicología empírica y la fenomenología pura. De esta múltiple ligazón interna del concepto de conciencia surgen y se desarrollan siempre disputas fronterizas entre las diversas regiones del pensamiento filosófico. El peligro de verse envuelto en estas dificultades es tanto mayor para nuestra propia cuestión sistemática, cuanto que su pertinencia a uno de los campos que disputan entre sí de ningún modo es segura desde el comienzo. La cuestión que se plantea la filosofía de las formas simbólicas tiene fuertes vínculos con otras cuestiones que tradicionalmente suelen atribuirse a la epistemología o a la psicología, a la metafísica o a la fenomenología. Aunque pueda reclamar una especie de autonomía metodológica y aunque tenga que intentar preparar y asegurar de modo independiente el terreno en que se plantea, no puede, empero, dejar de asomarse constantemente a esos campos. Si no queremos que la vinculación que siempre hallamos conduzca a una confusión, entonces tenemos que establecer con claridad en qué sentido se la busca y se la entiende. Si consideramos primero a la psicología, la línea divisoria parece dibujarse ligeramente, en tanto se vea la tarea de la psicología en la mera explicación empírico-causal de los fenómenos de la conciencia. Pues al igual que la epistemología pura en particular, la filosofía de las formas simbólicas en conjunto no pregunta por ese origen empírico de la conciencia, sino por su constitución pura. En lugar de rastrear las causas temporales de su surgimiento, se dirige simplemente a aquello "que yace en ella", a la aprehensión y descripción de sus formas estructurales. El lenguaje, el mito, el conocimiento teórico: todos ellos son tomados aquí como formas básicas del "espíritu objetivo", cuyo "ser" puede ser descubierto y entendido en sí, aparte de la cuestión de su "llegar a ser". Nos encontramos en el ámbito de la pregunta "trascendental" general: en el ámbito de esa metodología que sólo toma el quid facti de cada una de las diversas formas de conciencia como punto de partida para preguntar por su significado, por su quid juris. Pero, por otra parte, Kant mismo ha subrayado con insistencia que esta misma metodología de lo trascendental entraña dos distintas direcciones de consideración. "Una de ellas se refiere a los objetos del entendimiento puro y debe explicar la validez objetiva de sus conceptos a priori; la otra trata de considerar al entendimiento puro en sí mismo, según sus posibilidades y las facultades cognitivas en que se apoya, considerándolo, pues, en su aspecto subjetivo." De este modo Kant pudo unir los caminos de la "deducción subjetiva" y de la "deducción objetiva" sin temor a caer de nuevo en el idealismo psicologista, porque para él se había transformado decisivamente el sentido de la subjetividad misma. Pues para Kant la subjetividad "pura" tiene tan poco de individual y de empírico-fortuito, que se convierte más bien en fuente y origen de toda verdadera validez universal. La subjetividad del espacio y del tiempo sirve para fundamentar y asegurar la objetividad de la matemática, de los principios geométricos y aritméticos. De la misma manera, Kant recurre a la unidad trascendental de la apercepción sólo para hacer comprensible a partir y en virtud de ella la unidad de la naturaleza como un conjunto de leyes universales y necesarias. En este sentido es eliminada la antítesis entre sujeto y objeto al mostrar su necesaria interrelación en la estructura y constitución del objeto de la experiencia. El conflicto entre ambos cede el paso a una pura correlación. Pero ese conflicto amenaza con volver a plantearse si en lugar de dirigir nuestra pregunta exclusivamente al conocimiento científico, como privilegio de éste, la dirigimos a la totalidad de las formas de "comprensión del mundo". También aquí concebimos la subjetividad como un conjunto de funciones a partir de las cuales se estructura propiamente para nosotros el fenómeno de un "mundo" y su determinado orden de sentido. Pero ¿puede este "sentido" —cualquiera que sea la significación y validez que queramos atribuirle— aspirar al mismo tipo de validez universal que tenía en la esfera del conocimiento teórico y sus principios y axiomas? ¿O no está aquí la "aprioridad" constantemente en peligro de caer en otro plano, en la dimensión de lo "meramente subjetivo"? Este peligro puede mostrarse ya en aquel pensador que intentó por vez primera atenerse con todo rigor a la metodología de Kant, pero llevándola más allá de los límites de la imagen teórico-científica del mundo. El análisis del lenguaje se encuentra en Wilhelm von Humboldt siempre sometido al pensamiento guiador de que el contenido espiritual del lenguaje no puede ser nunca justipreciado plenamente si se considera su momento "objetivo"; si se le toma como un sistema de signos que debe servir para la descripción de los objetos y sus relaciones. "La diversidad de ánimo con que se interpreta —subraya Humboldt— da a los mismos sonidos una diversa intensidad de valor, y es como si sobre cada palabra flotara algo no absolutamente determinado por ella… Ni en los conceptos ni en el lenguaje mismo se encuentra algo aislado. Pero las relaciones entre los conceptos sólo aparecen realmente cuando el ánimo actúa en su unidad, cuando la subjetividad plena brilla frente a la completa objetividad. Cuando el alma empieza verdaderamente a sentir que el lenguaje no es meramente un medio de comunicación para darse a entender mutuamente, sino un verdadero mundo que el espíritu tiene que colocar entre él mismo y los objetos en virtud de su propia fuerza interna, se encuentra entonces en el camino correcto para hallar y colocar más en él." Aquí encontramos inequívocamente la referencia a una "subjetividad" de otro tipo, a una subjetividad que no se puede formular en principios ni desarrollar en un sistema de principios sintéticos a priori como en el caso del conocimiento teorético. El lenguaje no es concebido sólo como forma abstracta de pensamiento, sino que debe ser comprendida como forma concreta de vida; debe ser explicada no a partir de los objetos, sino a partir de la diversidad del "ánimo interpretativo". ¿Es acaso posible este viraje sin abandonarnos a la guía de la psicología? ¿No es ésta la que nos muestra el único camino posible que puede conducirnos del campo de la "subjetividad" abstracta al campo de la "subjetividad" concreta y que puede tender el puente entre la "forma de pensamiento" y la "forma de vida"?	Cassirer Formas Simbólicas III I
Dedekind elige otro camino, pero también para él es seguro que el concepto de número tiene que ser considerado como una "emanación directa de las leyes puras del pensamiento". Toda la teoría de los principios de la matemática de Russell está concentrada en la demostración de que los únicos supuestos que se requieren para determinar y asegurar el sentido del concepto de número son las puras "constantes lógicas". Ni siquiera el "intuicionismo" matemático constituye una posición opuesta a esa dirección fundamental. Aunque el intuicionismo se distingue tajantemente de las direcciones formalista y logicista en su concepción de la relación entre matemática y lógica, así como también en la determinación de su rango, la "intuición originaria", de la cual el intuicionismo hace surgir el número, no es ninguna intuición de objetos empíricos. Tampoco Brouwer parte de la representación de cosas en su intento de fundamentar una matemática puramente intuicionista, sino de una relación básica que da origen al concepto de orden y, con ello, al concepto de número. "Una especie de percepción —define Brouwer— se llama virtualmente ordenada si para los elementos de una subespecie de pares (a, b) de elementos de percepción se ha definido una relación asimétrica que designamos relación ordenante, la cual expresamos por medio de ‘a a’, o ‘b sucede a a’, o ‘b a la derecha de a’, o ‘b mayor que a’, y tiene ciertas ‘propiedades de orden’ que pueden determinarse con toda generalidad y exactitud."	Cassirer Formas Simbólicas III III
Si tenemos presente ese punto de partida de la teoría de conjuntos, no puede causarnos asombro que su aplicación haya encontrado finalmente ciertas barreras que podríamos denominar barreras del "sentido específico". Si se supone que en el reino de lo pensable existen ciertas leyes específicas del sentido, entonces éstas tienen que poner límite algún día a esa síntesis arbitraria de "todo con todo". Surgirán ciertas leyes básicas de enlace mediante las cuales algunas unificaciones se reconozcan como admisibles y materialmente válidas, mientras que a otras se les tiene que negar esa validez. Configuraciones de este último tipo se revelaron al pensamiento matemático del siglo XIX en las antinomias de la teoría de conjuntos. Inicialmente divergían con claridad las opiniones sobre la posibilidad de resolver esas antinomias, así como también sobre el camino que debía seguirse para resolverlas. Sin embargo, era cosa segura que tenía que abandonarse la definición "irrestricta" de conjuntos. Inicialmente se siguió la dirección del "pensamiento axiomático" y se entendió otra vez en un sentido puramente "formal" la condición limitativa que se había ya reconocido como indispensable. La arbitrariedad en la definición de conjuntos, así como también en la formulación de enunciados sobre sus elementos, fue limitada mediante ciertos axiomas de modo que se pudieran evitar contradicciones dentro de la teoría de conjuntos y, por otra parte, quedara incólume la importancia y aplicabilidad de esa teoría a pesar de las limitaciones impuestas. Mediante tales precauciones lógicas parecieron quedar satisfechas en todo sentido las necesidades técnicas de la matemática. Las investigaciones de Zermelo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos y la teoría de tipos de Russell tomaron ese camino. Esta última, por ejemplo, impide la entrada a la matemática legítima a un cierto procedimiento de formación de conjuntos, al procedimiento llamado "impredicativo", con arreglo al cual un concepto que pertenece a una cierta totalidad es definido de modo que en su definición entra esa misma totalidad. Se establece que ninguna totalidad debe contener miembros que sólo resultan definibles por medio de esa misma totalidad. Con todo, aun cuando se logre evitar que aparezcan contradicciones mediante semejantes prohibiciones, una pregunta acerca de ese procedimiento queda todavía pendiente. La axiomática nos impone materialmente una cierta prohibición, pero sin explicarnos su "razón" metodológica propiamente dicha. La validez de un cierto axioma —por ejemplo la validez del "axioma de reductibilidad" introducido por Russell— se manifiesta en sus consecuencias favorables, en la eliminación de los conjuntos "contradictorios", pero sin que se entienda su necesidad interna. Entendemos su "qué" pero no su "porqué". Mediante la axiomática se evita sólo que aparezca algún síntoma patológico, pero siempre queda la duda de si con ello en verdad se identificó y evitó también el meollo de la enfermedad misma que se manifiesta por el síntoma, y mientras no haya certidumbre al respecto hay que contar con su posible aparición en otro sitio. "El cerco de la axiomática" —como se ha llamado drásticamente esa situación— protege, como dice Poincaré, las ovejas legítimas de la teoría de conjuntos de cualquier ataque por parte de los lobos paradójicos contra su pacífico redil. Contra la durabilidad del cerco no cabe duda alguna. Sin embargo ¿quién garantiza que por descuido no hayan quedado dentro del cerco algunos lobos que aún no hemos notado y que pudieran algún día atacar el rebaño de ovejas y devastar otra vez el terreno cercado como ocurrió a principios de siglo? En otras palabras ¿cómo nos aseguramos de que los axiomas no ocultan algunos gérmenes que puedan producir contradicciones aún desconocidas en cuanto sean expuestos a una interacción suficiente por medio de ciertas formas de inferencia? El afán de llegar a asegurarse no provisional sino definitivamente, condujo de nuevo a la matemática moderna al foco y meollo del conflicto, esto es, al problema de la definición matemática y de la "existencia" matemática. Con ello quedó justificada la distinción fijada ya clara y precisamente por Leibniz entre definiciones nominales y definiciones reales. No toda síntesis de características expresable en palabras basta para determinar un objeto matemático y para garantizar su "posibilidad". A fin de asegurar esa posibilidad es menester sustituir en cada caso la palabra por su significado y tomar la decisión a partir de los criterios de ese significado. Con totalidades infinitas en especial no es posible operar sin plantear y contestar previamente la cuestión relativa al modo y a los medios en virtud de los cuales pueda "darse" al pensamiento esa totalidad. Los conjuntos "paradójicos" muestran con especial claridad que ese "darse" no es nunca un simple acto colectivo que pueda ocurrir mediante la pura "recolección" de elementos determinados meramente por alguna "propiedad" común, ya que la exigencia de reunir todo lo que participe de esa propiedad establece primero un simple postulado cuyo cumplimiento no está en modo alguno garantizado. Recién la unidad, no meramente colectiva sino "constitutiva" de una ley que determine la construcción de un conjunto puede ayudarnos a disipar la duda relativa al posible cumplimiento, ya que la ley abarca no sólo una infinitud de posibles casos de aplicación, sino que ella misma la genera. Con todo, esa convicción conduce a la matemática moderna por nuevos y propios caminos nuevamente al punto del que había partido Leibniz como metodólogo del pensamiento matemático. Otra vez se ha reconocido la relación que existe entre la auténtica "definición real" y la "definición genética". En este sentido subraya también Weyl que para llegar a una fundamentación verdaderamente segura y duradera del análisis es menester partir del puro "procedimiento de iteración". La teoría pura del número se convierte de nuevo en meollo de la matemática, de modo que la categoría de "número natural", junto con su respectiva relación originaria, por medio de la cual se expresa la relación de "secuencia inmediata" en el orden de los números, determina el "campo absoluto de operación" de la matemática. Del proceso de iteración, esto es, el proceso siempre posible de avanzar al infinito en una serie, se pueden extraer las conclusiones básicas sobre los números naturales en que se funda lógicamente toda la matemática pura.	Cassirer Formas Simbólicas III III
Lo epistemológicamente esencial y decisivo en esa fundamentación es la circunstancia de que es ella la primera que reconoce en toda su amplitud el primado del concepto de función frente al concepto de cosa. Al verse conducida la matemática a la "intuición originaria" del número, esa intuición no significa en modo alguno una intuición de cosas concretas sino que es concebida como la intuición de un puro procedimiento. Se parte de un cierto ámbito de operaciones y esas operaciones conducen a los individuos que llamamos "números". La "existencia" de esos números no está demostrada ni resulta demostrable más que proporcionando un principio con arreglo al cual puedan ser introducidos al infinito de acuerdo con una regla fijada con anterioridad. Ese modo de introducirlos es el único que permite dominarlos intelectualmente, ya que el conocimiento de la "ley" precede en rigor al conocimiento de lo "establecido" con arreglo a ella. A partir del campo de operación del número se desenvuelve apenas el campo cósico de lo contable y lo contado. Sólo si se compenetra plenamente con ese pensamiento idealista y se concibe como expresión del mismo podrá desarrollar y demostrar el "intuicionismo" moderno toda su energía para llevar a cabo la crítica de los fundamentos de la matemática. Ciertamente que el idealismo mismo tiene que entenderse como idealismo estrictamente "objetivo"; el campo de los objetos matemáticos no debe fundarse en el acto psicológico de contar sino en la idea pura del número. Si no me equivoco, lo que da la preferencia a la versión del "intuicionismo" de Weyl frente a la formulación de Brouwer es justamente la rigurosa comprensión y acentuación de ese factor. También la fundamentación que Brouwer da del análisis parte del proceso de "iteración". Para Brouwer el análisis comienza con la postulación de una multiplicidad plenamente determinada mediante una sola relación ordenadora. El principio de la matemática intuicionista consiste, pues, en que todos los campos de objetos a los cuales ella se extiende deben ser referidos mediatamente a ese esquema originario y básico y deben ser estructurados con arreglo a él. De ello se deduce que siempre que la matemática hable de "existencia" y formule un determinado teorema de existencia, no es ese teorema lo valioso, sino la relación llevada a cabo en la demostración del mismo. En este sentido dice Brouwer que toda la matemática "es más un hacer que una teoría". Sin embargo, es necesario explicar primero con mayor detalle lo que hemos de entender por el concepto hacer en el campo de la matemática. El "hacer" matemático es una actividad puramente intelectual que no transcurre en el tiempo sino que hace apenas posible un momento básico en que se funda el tiempo mismo, el momento de la "ordenación". Así pues, la operación primordial en que se funda el reino del número no debe ser reducida a una totalidad de actos que se encuentren en una relación de "sucesión" empírica, de modo que sólo sean capaces de construir "paso a paso" un todo. El todo, por el contrario, "precede" aquí en rigor a las partes en el sentido de que el principio de la operación, esto es, la ley que la genera, se encuentra al comienzo. De él recibe su sentido toda postulación individual. El tránsito progresivo de miembro a miembro dentro de la serie no crea ese principio sino sólo lo explícita; ese tránsito es una especie de interpretación de lo que el principio es y significa. De acuerdo con lo anterior, el "hacer" matemático es siempre un hacer universal que en una sola postulación básica comprende una infinitud de posibles actos parciales y permite abarcarlos plenamente. La relación ordenadora, de la cual se parte, delimita de una vez por todas un campo total de objetos posibles sin que para conquistar y asegurar ese campo sea necesario exhibir de manera individual cada uno de los objetos ni tampoco "construirlos" en ese sentido. La versión del "intuicionismo" que representa Brouwer parece no distinguir tajantemente esos dos puntos de vista. Al parecer, Brouwer requiere que cada enunciado matemático que tenga la forma "existe" sea fundamentado mediante un acto único de "dar". Sin embargo, con ello amenazan con borrarse para él las fronteras entre el dar puramente ideal y el dar empírico. A fin de designar esas fronteras podemos recurrir a una distinción creada y efectuada por Leibniz en otro contexto. En su crítica de los conceptos newtonianos de espacio y tiempo absolutos parte Leibniz de que es menester negar a esos conceptos todo significado físico objetivo ya que no es posible nunca demostrarlos efectivamente por medio de una observación. Un concepto que no es capaz de legitimarse en una experiencia concreta permanece vacío y no es posible asignarle ningún "objeto" físico determinado e inequívoco. Si, por ejemplo, hablamos de un cambio experimentado por el universo en relación con el tipo de su "movimiento absoluto", toda hipótesis de semejante cambio resulta carente de todo significado físico en la medida en que no contamos con ningún medio de constatar su ser o no ser. Así pues, los límites de la observación son al mismo tiempo los límites de lo que podemos y debemos designar como realidad física. La objeción de que pudiera haber eventos en el mundo que no sean necesariamente constatables para nosotros con los medios de nuestra investigación empírica, es respondida por Leibniz con una agudización metodológica de su tesis original. Los elementos de que se integra para nosotros la realidad de la naturaleza, la realidad del mundo de los objetos físicos, no necesitan ser de tal modo que puedan ser aprehendidos de modo individual por medio de una percepción directa sino que sólo necesitan ser indirectamente verificables por medio de algún dato de la experiencia. Lo decisivo no es para Leibniz la observación actual sino la observación posible, esto es, no la observation sino la observabilité. En el mismo sentido se podría decir que sobre la validez de un objeto matemático no decide su construcción real sino su construcción posible, su "constructibilidad". La ejecución de la construcción actual no es necesaria una vez que el pensamiento se ha asegurado acerca de la posibilidad de construcción a partir de una ley general, de una visión de la estructura apriorística de un campo determinado. En el lenguaje de la teoría de conjuntos se puede designar con mayor claridad la distancia que queremos lograr si recordamos los diferentes significados que ha tenido el concepto conjunto definido en el curso del desarrollo de la teoría de conjuntos. En los comienzos de la teoría, ese concepto es tomado tan ampliamente que un conjunto se consideraba como determinado si de cualquier objeto del pensamiento se sabía con seguridad si se contaba o no entre los elementos del conjunto. Toda totalidad integrada así por elementos definidos representaba un conjunto. Las paradojas de la teoría de conjuntos hicieron necesaria la limitación en el uso del concepto de conjunto; el postulado de la definición de los elementos es sustituido por el de la definición de la extensión. Ahora no cualquier totalidad definida mediante una propiedad o una ley constituye ya un objeto matemático válido sino que es necesidad requerir además que esa totalidad sea idealmente exhaustiva, esto es, que fuera de un cierto ámbito cerrado de cosas, el cual puede delimitarse por medio de un determinado principio de construcción, no haya más elementos del conjunto. Brouwer fue todavía un paso más allá al permitir sólo totalidades decidibles, esto es, totalidades con respecto a las cuales es posible siempre decidir en un proceso puramente finito si en ella se encuentran elementos con una propiedad dada. Al concepto constructibilidad que nosotros hemos tratado de formular correspondería el postulado de la "extensión definida", pero no necesariamente el de la "decidibilidad", ya que este último exige la construcción realmente efectuada y concluida, mientras que el primero se conforma con la posibilidad ideal de construcción. "Si A es una propiedad con sentido en el dominio de los números naturales —así precisa Weyl la diferencia entre su concepción y la de Brouwer— de modo que se sabe si el número natural ‘n’ tiene o no la propiedad A, según Brouwer con la pregunta ¿existe o no un número con la propiedad A? ocurre algo semejante a lo que ocurre en el caso de las series de números, aun cuando el concepto de número natural —a diferencia del concepto de serie— … tiene una extensión definida… Brouwer justifica su opinión diciendo que no hay razón para creer que toda cuestión existencial semejante se pueda decidir… En consciente oposición a Brouwer he sostenido yo en mi intento de fundamentación del análisis la tesis de que lo importante no es si estamos en aptitud de decidir una cuestión con ciertos medios auxiliares, por ejemplo, con las formas de inferencia de la lógica formal, sino lo que ocurre con la cuestión misma; ¿son acaso la serie de los números naturales y el concepto de existencia relativo a ella el fundamento de la matemática en el sentido de que con relación a una propiedad A en el dominio de los números siempre se sabe si existen o no números del tipo A?" De hecho no será posible renunciar a la posibilidad y al derecho de emitir ciertos enunciados válidos "en sí" sin permitir que con ello la "idea" objetiva del número quede reducida al acto de contar y el principio del idealismo quede reducido al principio del psicologismo. Por cierto que Weyl mismo parece ir demasiado lejos cuando no reconoce enunciados del tipo general "existe" como juicios propiamente dichos, sino cuando mucho como "abstracciones de juicios". El enunciado "2 es un número par" es para Weyl un verdadero juicio que expresa un hecho matemático, mientras que el otro enunciado "existe un número par" sólo es una "abstracción de juicio" obtenida del primer juicio. Esa abstracción de juicio se puede comparar según Weyl con un pedazo de papel que indica la existencia de un tesoro pero sin señalar el sitio en que se encuentra. Un valor cognoscitivo propiamente dicho no puede atribuirse a semejante papel, ya que verdadero valor, comparable a los medios de subsistencia en la economía, sólo tiene lo inmediato, lo singular; todo lo general participa sólo indirectamente de ello. Sin embargo —podríamos proseguir a la inversa con la imagen de Weyl— ¿pertenece en verdad a los "valores" económicos "reales" sólo aquello que en un momento dado podemos palpar, sólo aquello que representa un bien directamente presente y directamente aprovechable? ¿No tenemos que distinguir también entre lo realmente dado y lo realizable en ciertas condiciones? La crítica del conocimiento no puede tratar de negar o destruir el crédito de lo general sino que sólo tiene que plantearse la cuestión de cómo puede fundarse de manera correcta. Es posible que lo "general" en el sentido de Weyl no pueda ser considerado como moneda válida sino solamente como algo representativo, como una orden de pago; sin embargo, ese hecho no le resta nada de su valor mientras pueda garantizarse la posibilidad de cobrarla. La matemática, al menos, no puede prescindir de esos valores puramente representativos, ya que en verdad no puede limitarse a enunciados singulares, sino que representa un sistema de determinaciones puramente funcionales. La matemática no requiere para la validez de sus enunciados generales que estén llenos de cierto contenido singular, sino sólo la posibilidad de llenarlos. Para los juicios básicos en verdad universales de la matemática está asegurada esa posibilidad; tales juicios son concreto-universales en el sentido de que permiten abarcar con una sola mirada espiritual una regla omnicomprensiva y al mismo tiempo sus casos de aplicación diversa hasta lo infinito. Lo singular del caso de aplicación no fundamenta la regla sino sólo la confirma; a través del caso singular se manifiesta la regla sin que su significado se reduzca a él. En esa medida los juicios universales que se refieren a situaciones existenciales no son, como afirma Weyl, una "vacua invención del lógico", ya que aunque las "instrucciones generales para emitir un juicio", tal como Weyl mismo concede y subraya, entrañan una plétora infinita de verdaderos juicios, "formulando el fundamento de legitimidad de todos los juicios singulares que se pueden obtener de ellos", ese mismo fundamento de legitimidad no puede proceder de la nada sino que tiene que poseer un fundamento "objetivo". También el intuicionismo matemático moderno parece correr con frecuencia el peligro que tantas veces surgió en la disputa filosófica sobre el "problema de los universales". Su fundada crítica de lo seudogeneral, de la generalidad del "concepto abstracto" se extiende también a lo auténticamente general, a la generalidad del principio constructivo. No obstante, es menester distinguir con claridad entre ambas, sobre todo si se pretende obtener una fundamentación estricta de la matemática y de la "ciencia exacta". Nunca podrá lograrse esa fundamentación si se reduce el significado de lo universal, si se reduce al significado de lo singular; una sola cosa puede y debe exigirse: que ese significado no sea simplemente "abstraído", que no se haga de él un ser independiente, sino que se le conserve en constante contacto y en continua relación con lo particular.	Cassirer Formas Simbólicas III III
Esa forma de lo "concreto-universal" se desconoce también cuando se le considera como algo secundario y derivado que debe ser de nuevo reducido de algún modo a la realidad de las "cosas". Ese intento de reducción no sólo es característico de ciertas derivaciones empiristas del concepto de número, sino también de una cierta dirección dentro del "logicismo" puro. Empirismo y logicismo se encuentran aquí en un supuesto "realista" común a ambos, ya que ambos creen que la única posibilidad de asegurar la validez pura del número es fundamentarlo en un estrato dado de lo real. El empirismo recurre aquí a la existencia de conjuntos concreto-sensibles, tratando de interpretar los enunciados numéricos de modo que éstos devengan simplemente enunciados sobre datos inmediatos de la percepción o de la intuición. Si se completa esa concepción, la aritmética se convierte en una parte de la física. De ahí que Mill haya procedido de modo enteramente congruente al considerar las verdades aritméticas como dependientes del material y del "medio" de la experiencia, así como también al concluir que el enunciado 1 + 1 = 2 no por fuerza tiene validez universal para los habitantes de Siria, los cuales viven quizá bajo condiciones empíricas distintas. A partir de la incisiva crítica de Frege, semejante tipo de "fundamentación" de la aritmética ha sido hoy en día abandonado. Con todo, la construcción de la teoría pura del número que ha ofrecido Frege y los lógicos que han seguido su camino se aleja de igual modo —aunque en una dirección enteramente distinta— del ideal de una aritmética verdaderamente "autónoma". En Frege la verdad propia y última del número no descansa en él mismo sino en algo más; los enunciados sobre números reciben su sentido y su validez objetivos en la medida en que son identificados como enunciados sobre clases. La existencia de tales clases, las cuales ciertamente son concebidas no como multiplicidades sensibles sino como multiplicidades puramente conceptuales constituye el fundamento de todos los enunciados de la teoría pura del número. Así como Mill parte del estrato de las cosas empíricas, Frege parte de determinadas cosas conceptuales que él considera como sustrato absolutamente necesario del dominio puro del número. Sin ese sustrato el número perdería, según Frege, su soporte en el ser y vagaría por completo en el vacío. No obstante, el sentido básico puramente funcional del número se desconoce lo mismo si se le trata de deducir de la "esencia" lógica de los conceptos, pues en ambos casos el número no significa ya ninguna forma original de posición, sino que requiere algo antes dado y supuesto. Este realismo es también característico de la derivación del concepto de número que Russell hace a partir del concepto de clase. Lo primero para Russell no es el concepto de número sino el concepto de equivalencia numérica, y este último sólo puede definirse como una propiedad de ciertas clases, es decir, como la propiedad que tienen sus elementos de poder ser unívocamente correlacionados. Así, por ejemplo, el concepto "dos" expresa sólo una determinación que se encuentra inmediatamente en ciertos grupos de cosas —en las cosas que solemos designar "pares"— y que se puede abstraer de ellos, así como el número "doce" designa una propiedad común a todas las "docenas". El significado del "doce" depende del ser de las "docenas", puesto que el número en cuanto tal sólo puede ser concebido como "clase de clases" que se encuentran conectadas por medio de la relación de equivalencia. Así pues, también en este caso la relación sigue al ser —por más que éste sea lógicamente concebido y purificado— en lugar de que el ser, su orden y articulación sean deducidos de la estructura básica de la relación.	Cassirer Formas Simbólicas III III
El valor que tiene una construcción estrictamente "formalista" de la matemática cobra así un nuevo matiz. En sí casi no puede exagerarse ese valor; no sería excesivo decir que la matemática sólo podrá justificar y conservar su viejo rango de "ciencia estricta" en la medida en que se logre concluir con la tarea de "formalización" de la misma en el sentido de Hilbert, pues con ello habrá ocurrido otra vez ese milagro lógico fincado en la esencia misma de lo matemático, esto es, la pregunta por lo infinito se haría accesible al modo finito de decisión mediante procesos "finitos". Hilbert mismo considera que el verdadero mérito de su teoría consiste en que ella permite fundamentar metódicamente y asegurar la idea de lo infinito por medio de lo finito. Con todo, por mucho que el perfeccionamiento de lo matemático requiera la plena realización del punto de vista estrictamente formalista, este interés técnico-matemático no coincide sin más con el interés epistemológico. La crítica del conocimiento tiene que reclamar de nuevo el restablecimiento de la unidad entre ambos momentos básicos que la abstracción matemática distingue con razón. De hecho, "formalismo" e "intuicionismo" no se excluyen desde el punto de vista epistemológico ni son algo antitético, ya que justamente el significado de lo que se ha aprehendido en la intuición pura tiene que ser retenido y conservado mediante el proceso de formalización, tiene que ser incorporado al pensamiento como posesión siempre disponible. En ese sentido ya Leibniz, uno de los más rigurosos representantes del punto de vista estrictamente formalista, dejó de separar al conocimiento "intuitivo" del conocimiento "simbólico", vinculándolos de modo indisoluble. Según Leibniz el primero crea los fundamentos de la matemática y el segundo se ocupa de que a partir de esos fundamentos se llegue a conclusiones por medio de cadenas deductivas. El pensamiento no necesita, al seguir éste su camino, mirar de continuo las situaciones ideales sino que puede contentarse largos trechos con colocar en lugar de la operación con las "ideas" la operación con los "signos". Sin embargo, tiene que llegar al final a un punto en que pregunta por el "sentido" de los signos, exigiendo una interpretación material de lo que se expresa y representa por medio de éstos. Leibniz, por ejemplo, compara el simbolismo matemático con el telescopio o con el microscopio. Por más que ambos incrementen el poder visual del hombre, no pueden sustituirlo. Como forma de visión intelectual, el conocimiento matemático se basa en una función originaria y autónoma de la razón, la cual se sirve de los caracteres simbólicos como instrumento. A mi modo de ver, ni siquiera la gigantesca ampliación y profundización que Hilbert ha dado al formalismo matemático nos fuerza a revocar esa decisión de principio, ya que la construcción entera de su sistema de signos no hubiese sido posible si Hilbert no se hubiese fundado en los conceptos de orden y sucesión como "conceptos originarios". Los números de Hilbert, aunque sean tomados como meros signos, son siempre signos posicionales, esto es, están provistos de un cierto "índice" que permite reconocer el modo en que se suceden. Así pues, aun cuando concibamos a todos y cada uno de los signos sólo como objetos discretos, extralógicos y dados de modo puramente intuitivo, todos esos objetos no se encuentran nada más yuxtapuestos como elementos independientes unos de otros sino que poseen un cierto orden. Si partimos del objeto "cero" como signo inicial, en un cierto proceso llegamos al "siguiente" signo 0' y de éste a 0", 0'", etc. Esto no significa sino que los diversos signos, a fin de distinguirlos con seguridad, tienen que ser separados de acuerdo con un orden determinado, lo cual es ya un "contar" en el sentido estricto de la palabra. Las comillas que empleamos para distinguir al 0 del 0', al 0' del 0", etc. fungen ya como números en el sentido de una derivación puramente "ordinal" del concepto de número. En general puede decirse que al pensamiento "intuitivo" le corresponde la fundamentación del edificio matemático, mientras que al pensamiento simbólico le corresponde la construcción y el aseguramiento del mismo. Desde el punto de vista epistemológico, ambas tareas corresponden a diversos niveles. Para Hilbert la afirmación "en un principio era el signo" tiene validez en la medida en que él ve la tarea esencial de su teoría en evitar el error y en proteger al pensamiento matemático de toda contradicción. Sin embargo, aquello que sirve para evitar el error no es por ello ya la razón suficiente de la verdad. Esta razón sólo puede ser hallada en ciertos enlaces sintéticos del pensamiento que fundamentan la construcción de un cierto campo de objetos y hacen posible la dominación de ese campo a través de leyendas universales. Al lado de una lógica analítica, la cual ofrece una visión de conjunto completa sobre lo encontrado y sus conexiones sistemáticas, pedía Leibniz una logica inventionis, una lógica de la invención. En este sentido podría decirse que el formalismo constituye un instrumento indispensable para la lógica de lo encontrado, pero no revela el principio del "encontrar" matemático. En ocasiones Hilbert dice que su teoría persigue la finalidad de asegurar para siempre el poder estatal de la matemática frente a todos los "golpes de estado" que se han intentado contra el análisis clásico. Sin embargo, aunque la teoría de la demostración llegara un día a alcanzar plenamente su finalidad, el lógico y el epistemólogo tendrán siempre derecho de preguntar si las fuerzas llamadas a proteger al gobierno matemático son las mismas que fundaron el dominio de la matemática en el reino del espíritu y constantemente lo extendieron y aumentaron. El formalismo es un medio incomparable de "disciplina" de la razón matemática, pero por sí mismo no es capaz de explicar su existencia ni de justificarla en sentido "trascendental".	Cassirer Formas Simbólicas III III
El valor que tiene una construcción estrictamente "formalista" de la matemática cobra así un nuevo matiz. En sí casi no puede exagerarse ese valor; no sería excesivo decir que la matemática sólo podrá justificar y conservar su viejo rango de "ciencia estricta" en la medida en que se logre concluir con la tarea de "formalización" de la misma en el sentido de Hilbert, pues con ello habrá ocurrido otra vez ese milagro lógico fincado en la esencia misma de lo matemático, esto es, la pregunta por lo infinito se haría accesible al modo finito de decisión mediante procesos "finitos". Hilbert mismo considera que el verdadero mérito de su teoría consiste en que ella permite fundamentar metódicamente y asegurar la idea de lo infinito por medio de lo finito. Con todo, por mucho que el perfeccionamiento de lo matemático requiera la plena realización del punto de vista estrictamente formalista, este interés técnico-matemático no coincide sin más con el interés epistemológico. La crítica del conocimiento tiene que reclamar de nuevo el restablecimiento de la unidad entre ambos momentos básicos que la abstracción matemática distingue con razón. De hecho, "formalismo" e "intuicionismo" no se excluyen desde el punto de vista epistemológico ni son algo antitético, ya que justamente el significado de lo que se ha aprehendido en la intuición pura tiene que ser retenido y conservado mediante el proceso de formalización, tiene que ser incorporado al pensamiento como posesión siempre disponible. En ese sentido ya Leibniz, uno de los más rigurosos representantes del punto de vista estrictamente formalista, dejó de separar al conocimiento "intuitivo" del conocimiento "simbólico", vinculándolos de modo indisoluble. Según Leibniz el primero crea los fundamentos de la matemática y el segundo se ocupa de que a partir de esos fundamentos se llegue a conclusiones por medio de cadenas deductivas. El pensamiento no necesita, al seguir éste su camino, mirar de continuo las situaciones ideales sino que puede contentarse largos trechos con colocar en lugar de la operación con las "ideas" la operación con los "signos". Sin embargo, tiene que llegar al final a un punto en que pregunta por el "sentido" de los signos, exigiendo una interpretación material de lo que se expresa y representa por medio de éstos. Leibniz, por ejemplo, compara el simbolismo matemático con el telescopio o con el microscopio. Por más que ambos incrementen el poder visual del hombre, no pueden sustituirlo. Como forma de visión intelectual, el conocimiento matemático se basa en una función originaria y autónoma de la razón, la cual se sirve de los caracteres simbólicos como instrumento. A mi modo de ver, ni siquiera la gigantesca ampliación y profundización que Hilbert ha dado al formalismo matemático nos fuerza a revocar esa decisión de principio, ya que la construcción entera de su sistema de signos no hubiese sido posible si Hilbert no se hubiese fundado en los conceptos de orden y sucesión como "conceptos originarios". Los números de Hilbert, aunque sean tomados como meros signos, son siempre signos posicionales, esto es, están provistos de un cierto "índice" que permite reconocer el modo en que se suceden. Así pues, aun cuando concibamos a todos y cada uno de los signos sólo como objetos discretos, extralógicos y dados de modo puramente intuitivo, todos esos objetos no se encuentran nada más yuxtapuestos como elementos independientes unos de otros sino que poseen un cierto orden. Si partimos del objeto "cero" como signo inicial, en un cierto proceso llegamos al "siguiente" signo 0' y de éste a 0", 0'", etc. Esto no significa sino que los diversos signos, a fin de distinguirlos con seguridad, tienen que ser separados de acuerdo con un orden determinado, lo cual es ya un "contar" en el sentido estricto de la palabra. Las comillas que empleamos para distinguir al 0 del 0', al 0' del 0", etc. fungen ya como números en el sentido de una derivación puramente "ordinal" del concepto de número. En general puede decirse que al pensamiento "intuitivo" le corresponde la fundamentación del edificio matemático, mientras que al pensamiento simbólico le corresponde la construcción y el aseguramiento del mismo. Desde el punto de vista epistemológico, ambas tareas corresponden a diversos niveles. Para Hilbert la afirmación "en un principio era el signo" tiene validez en la medida en que él ve la tarea esencial de su teoría en evitar el error y en proteger al pensamiento matemático de toda contradicción. Sin embargo, aquello que sirve para evitar el error no es por ello ya la razón suficiente de la verdad. Esta razón sólo puede ser hallada en ciertos enlaces sintéticos del pensamiento que fundamentan la construcción de un cierto campo de objetos y hacen posible la dominación de ese campo a través de leyendas universales. Al lado de una lógica analítica, la cual ofrece una visión de conjunto completa sobre lo encontrado y sus conexiones sistemáticas, pedía Leibniz una logica inventionis, una lógica de la invención. En este sentido podría decirse que el formalismo constituye un instrumento indispensable para la lógica de lo encontrado, pero no revela el principio del "encontrar" matemático. En ocasiones Hilbert dice que su teoría persigue la finalidad de asegurar para siempre el poder estatal de la matemática frente a todos los "golpes de estado" que se han intentado contra el análisis clásico. Sin embargo, aunque la teoría de la demostración llegara un día a alcanzar plenamente su finalidad, el lógico y el epistemólogo tendrán siempre derecho de preguntar si las fuerzas llamadas a proteger al gobierno matemático son las mismas que fundaron el dominio de la matemática en el reino del espíritu y constantemente lo extendieron y aumentaron. El formalismo es un medio incomparable de "disciplina" de la razón matemática, pero por sí mismo no es capaz de explicar su existencia ni de justificarla en sentido "trascendental".	Cassirer Formas Simbólicas III III
Es históricamente curioso y sistemáticamente interesante cómo esa decisión platónica no sólo dominó por siglos la problemática de la metafísica, sino que influyó además de modo constante dentro de la matemática científica. Todavía en el siglo XIX plantea Paul du Bois-Reymond en su Allgemeinen Funktionentheorie [Teoría general de las funciones], en forma casi enteramente platónica, el problema de la verdad de los objetos matemáticos. Sin embargo, él no se atreve ya a dar una respuesta definitiva y unívoca a esa cuestión, sino que admite la elección entre dos direcciones opuestas: "idealismo" y "empirismo". Según Du Bois-Reymond el primero recorre el camino de la "trascendencia" y el segundo el camino de la "inmanencia". El empirismo ve en el número un medio de determinación, pero no lleva esa determinación más allá de lo que permite la naturaleza de los objetos de la experiencia. Para el empirismo el número queda siempre sujeto a los límites establecidos para cualquier medida fáctica y concreta. El proceso de medición puede afinarse y precisarse, pero no puede ir más allá de los límites dentro de los cuales es posible todavía una distinción intuitiva sin perder su "sentido". El "idealista", por el contrario, parte de una concepción y definición del "sentido" matemático que declara a éste libre y por principio independiente de todas las condiciones de la verificación empírica. Para el idealista una configuración como una fracción decimal infinita y no-periódica no está sólo determinada hasta el grado en que efectivamente se ha "calculado" su valor, sino que posee una determinación objetiva continua y completa, un ser "en sí". Según la teoría de Du Bois-Reymond el conflicto creado, en caso de ser soluble, no puede con seguridad decidirse ya de modo puramente matemático, sino que pertenece a un campo en que la última palabra la tiene no el conocimiento matemático, sino la "fe filosófica". Por extraño y paradójico que pueda parecer a primera vista ese juicio, la evolución de la teoría del conocimiento matemático en las últimas décadas parece haberlo confirmado en gran medida, ya que con respecto a la cuestión de la verdad y validez de los "elementos ideales" la matemática parece estar todavía dividida en dos campos, en una concepción "nominalista" y en una "realista", sin que hasta la fecha se haya podido señalar un camino para decidir entre ambas con arreglo a criterios puramente matemáticos. Algunos investigadores notables hablan como si se tratase de una cuestión a la cual nada más se pudiera dar una respuesta procedente no de la conciencia lógica de la matemática, sino más bien sólo de la conciencia ética del matemático y su "concepción del mundo". Por otra parte, desde el punto de vista epistemológico ese cambio de acento en el problema de la verdad matemática resulta tanto más sospechoso, en cuanto que el espacio e importancia de los "elementos ideales" han aumentado en la construcción de la matemática moderna. Por supuesto que no han faltado intentos de limitarlos y hasta de suprimirlos por completo. Es conocida la frase de Kroneker en el sentido de que el número entero ha sido creado por Dios, mientras que todo lo demás es obra humana. Sin embargo, si se observa la evolución del pensamiento matemático desde la Antigüedad hasta el presente, esa obra humana parece ser justamente la responsable de los triunfos más grandes de este último. Partiendo de este planteamiento del problema tuvo que surgir una y otra vez el deseo de asegurar también el fundamento lógico de esos elementos ideales cuyo empleo y fertilidad no podían negarse ya, así como también de anclarlos en los fundamentos últimos del pensamiento matemático.	Cassirer Formas Simbólicas III III
Si planteamos a la moderna física teórica la pregunta de en qué medida se ha cumplido en ella esa predicción de Locke, nos podremos aclarar nuevamente en este punto cuán grande es la distancia que suele existir entre los enunciados del "empirismo" y los hechos de la propia empirie concreta. Ambos coinciden en un momento puramente negativo, en el apartarse de un cierto ideal metafísico de conocimiento. También la física moderna ha abandonado la idea de penetrar "en el interior de la naturaleza" si por "interior" se entiende el fundamento sustancial último del cual se deriven los fenómenos empíricos. La física moderna no se plantea ninguna otra cuestión más elevada que la de "deletrear apariencias a fin de poder leerlas como experiencias". Por otra parte, traza el límite entre la apariencia sensible y la "experiencia" científica con mucha mayor claridad que en los sistemas del empirismo dogmático: Locke, Hume, Mill o Mach. En lo que esos sistemas describen como pura facticidad, como matter of fact, no puede encontrarse ya ninguna diferencia entre lo "fáctico" de la física teórica y lo "fáctico" de la historia. Hemos visto ya en las frases anteriores de Locke citadas cómo se mezclan e imperceptiblemente confluyen ambas determinaciones. Sin embargo, esa misma nivelación corta de raíz el auténtico problema de la "facticidad" física. Los hechos de la física no se equiparan a los de la historia, ya que los primeros descansan en supuestos y en procesos intelectuales enteramente distintos de los últimos. Si se abstrae de todos esos procesos, no con ello se obtiene el meollo puro de la facticidad física, sino más bien se le destruye al privársele de su significado específico. Aquí se manifiesta una peculiar dialéctica en la evolución del empirismo mismo, puesto que el ataque que se proponía llevar a cabo contra lo "racional" se vuelve después contra sí mismo. El empirismo cree poder asegurar óptimamente la legitimidad de la experiencia como el fundamento auténtico de todo conocimiento basando la experiencia exclusivamente en sí misma. La experiencia —según una expresión de Locke— ya no debe descansar en suelo prestado o mendigado, sino que tiene que ser reconocida como una fuente autónoma de conocimiento y por completo independiente. Sin embargo, el corte que se efectúa con ello y que estaba destinado a separar tajante y claramente la esfera de lo a posteriori de la esfera de lo a priori afecta no sólo a los momentos a priori, sino al mismo tiempo a la forma misma de la conceptuación empírica. En vista de la correlación continua entre lo "particular" y lo "general", lo "fáctico" y lo "racional", todo intento de separar cualquiera de esos factores del complejo intelectual en que se encuentra equivale a destruir su significación positiva. Lo fáctico no existe nunca "en sí", como un material del conocimiento previamente dado y por completo indiferente, sino que participa ya como momento categorial en el proceso de conocimiento. Este momento recibe a su vez su sentido en virtud del otro polo al cual se refiere, en virtud de la forma estructural a la que apunta y que, por su parte, ayuda a construir. Recién desde este punto de vista resalta toda la riqueza en determinaciones que entraña el contenido de lo "fáctico", la variedad y sutileza de las distinciones que encierra. De acuerdo con la forma a la que se adapte cambia también el significado básico de la pura "facticidad" misma. Lo racional no es la antítesis lógica de lo fáctico, sino uno de sus medios esenciales de determinación y de acuerdo con la evolución de ese medio de determinación va adquiriendo lo fáctico mismo un contenido espiritual distinto. Se convierte en hecho de la física, en hecho de la ciencia natural descriptiva o de la historia de acuerdo con la pregunta teórica que le sea planteada y de acuerdo con los supuestos particulares que entran ya en cada una de esas formas características de preguntar.	Cassirer Formas Simbólicas III III