ASEGURAMIENTO........4
Con ello quedamos, empero, frente a un complejo de preguntas difícilmente desentrañable: ¿No existe acaso algún campo de la filosofía o incluso del conocimiento teórico en general en el cual no intervenga de algún modo el problema del espacio y se entreteja de uno u otro modo con él? metafísica y epistemología, física y psicología participan en la misma medida en su planteamiento y solución. Aquí no podemos pensar en seguir el problema en todas sus ramificaciones, sino que sólo extraemos de su rica y complicada textura un hilo que lo vincula con nuestra pregunta sistemática fundamental. ¿En qué relación —preguntamos— se encuentra el problema del espacio con el problema general del símbolo? ¿Es el espacio "en" el que nos representamos las cosas algo simplemente dado intuitivamente o es acaso el producto de un proceso de formación simbólica? Claro que con este planteamiento del problema nos vemos arrojados fuera de los caminos trazados por la investigación psicológica y epistemológica y nos situamos desde el comienzo en un terreno nuevo. Pues ahora —lo cual es a primera vista bastante extraño y paradójico— el centro de gravedad del problema es trasladado de la filosofía de la naturaleza a la filosofía de la cultura. La pregunta acerca de lo que el espacio significa para la constitución del mundo de las cosas es agudizada y profundizada para preguntar por lo que el espacio expresa y obra en la construcción y conquista de la realidad específicamente espiritual. No podemos comprender por completo ni su "origen" ni su valor ni su "dignidad" peculiar antes de haber precisado su lugar dentro de una "fenomenología general del espíritu". ¿Qué relación existe —hay que preguntar ahora— entre la función objetiva de la intuición pura del espacio y esas otras energías espirituales que coadyuvan de modo decisivo en la objetivación progresiva? ¿Qué participación le corresponde especialmente al lenguaje en la conquista y aseguramiento del mundo de la intuición espacial? La psicología y la epistemología tradicionales no ofrecen a todas estas preguntas ninguna respuesta satisfactoria; más aún, ninguna de ellas parece haberse planteado la pregunta con verdadero rigor y precisión. Por el contrario, como consecuencia de esa omisión cerraron una vía importante de acceso al problema del espacio. Abandonaron, por así decirlo, el hilo que conecta este problema no sólo con la problemática universal del ser, sino también del significado. Sin embargo, justamente en las teorías más conocidas del espacio puede mostrarse, por otra parte, exactamente el punto en el cual las mismas, aun cuando al principio lo hagan inconsciente y en alguna medida involuntariamente, se ven obligadas a investigar el tema en esta misma dirección. A partir del instante en que el problema del espacio es visto y tratado con verdadera agudeza sistemática, va ocupando cada vez con más claridad un concepto básico el lugar central. Ese concepto recorre la historia de las teorías del espacio. Sea cual fuere la orientación de esas teorías, "racionalista", "sensualista", "empirista" o "nativista", siempre se vieron en su construcción y fundamentación remitidas al concepto de signo. Esta tendencia la encontramos en la teoría espacial de Kepler y Descartes, la cual coloca el fundamento para un tratamiento matemático exacto del problema; la encontramos también, acuñada con mucha mayor precisión, en la "Nueva teoría de la visión" de Berkeley, la cual se convierte en punto de partida de la óptica fisiológica; de igual modo puede rastrearse en todas las teorías modernas sobre el "origen de la representación espacial" hasta Helmholtz y Hering, hasta Lotze y Wundt. Vale la pena recordar estas conexiones en un breve resumen histórico, pues en él nos veremos automáticamente conducidos a la pregunta sistemática que en todas partes está ya latente.	Cassirer Formas Simbólicas III II
Si con base en estas consideraciones teóricas generales tratamos de precisar y resumir nuevamente la posición que ocupa el número en el sistema total de la matemática, vemos que para ello es necesario distinguir con claridad dos factores que en la evolución histórica del problema se han cruzado con frecuencia y se han englobado mutuamente de muchas maneras. Ya en la teoría pitagórica encontramos un peculiar titubeo en la expresión de la idea fundamental. La fórmula básica, según la cual todo lo existente es esencialmente número, aparece junto a otras fórmulas según las cuales todo ser "imita" al número participando de él en virtud de esa imitación. En los fragmentos de Filolao se dice no sólo que las cosas son números sino también que todo lo cognoscible, sea cual fuere por lo demás su naturaleza, tiene su número. Ese "tener" un número aparece a primera vista como una relación difícil de captar, como una relación curiosamente ambigua, ya que entraña unidad y diferencia, identidad y diversidad; mantiene la separación entre "ser" y "número", pero al mismo tiempo mide al uno por medio del otro, uniéndolos así de manera indisoluble. En repetidas ocasiones amenaza con surgir una antítesis dialéctica de esa tensión original de ambos motivos. La matemática moderna apenas ha creado los medios para conservar esa tensión, pero controlándola al mismo tiempo intelectualmente. Ella ha comprendido la polaridad que surge aquí, pero al mismo tiempo la ha desarrollado y ha hecho de ella una pura correlación. Vemos ahora que el campo de objetos que conciernen a la matemática no puede reducirse a la mera cantidad, al número o a la magnitud. Sin embargo, por otra parte subsiste la constante referencia de todos los objetos matemáticos al número y a su forma básica de orden. De ahí que el mismo camino que conduce más allá del número conduzca también constantemente de regreso a él. A fin de obtener una visión de la estructura intelectual de la matemática moderna es necesario considerar ambas tendencias. Por mucho que trascienda, de acuerdo con su objeto, el reino de los números, permanece apegada metodológicamente a él. "En consonancia con la nueva evolución de nuestra ciencia —hace notar Hermann Weyl— se ha encontrado que la vieja explicación de la matemática como teoría del número y del espacio es demasiado estrecha; no cabe duda, sin embargo, que también en disciplinas como la geometría pura, el analysis situs, la teoría de grupos, etc., se establece desde un principio la relación de los números naturales con los objetos en cuestión." 39 Así pues, justamente en la ampliación de la matemática moderna se conserva la tendencia hacia la "aritmetización", apareciendo en ella con especial claridad. Todos los grandes pensadores que han dado su sello espiritual a la matemática del siglo XIX han contribuido a esa continua tarea. Gauss, quien llamó a la matemática "la reina de las ciencias", nombró a la aritmética "la reina de la matemática". En el mismo sentido reclamó Felix Klein una continua "aritmetización de la matemática". También el aseguramiento del conocimiento matemático pareció sujeto a ese camino. Así, por ejemplo, la demostración de no-contradicción de la geometría fue llevada a cabo por Hilbert presentando un procedimiento para poder correlacionar unívocamente los elementos y enunciados de la geometría con una multiplicidad puramente aritmética. Si resulta que (y por qué) en una multiplicidad semejante no pueden surgir contradicciones, se habrá asegurado con ello la "coherencia" del campo geométrico. Así pues, para Hilbert el orden de los números aparece como el último estrato fundamental de ese "pensamiento axiomático" característico de la matemática en cuanto tal. El procedimiento del método axiomático consiste en colocar cada vez más profundamente los fundamentos de los diversos campos del saber, pero una fundamentación y un aseguramiento verdaderamente radicales pueden apenas considerarse como alcanzados cuando se ha logrado anclar los axiomas de un campo en los axiomas del número. "Todo lo que puede ser objeto del conocimiento científico —escribe Hilbert al final de su exposición— en cuanto alcanza el grado de madurez necesario para constituir una teoría cae en el método axiomático y, con ello, indirectamente en el campo de la matemática. Penetrando en estratos cada vez más profundos de axiomas obtenemos también una visión cada vez más profunda de la esencia del pensamiento científico y vamos adquiriendo cada vez más conciencia de la unidad de nuestro saber. Bajo el signo del método axiomático la matemática parece llamada a ocupar un papel de primer orden en la ciencia en general." En todo ello nos percatamos de que lo que determina el carácter específico de la matemática moderna no es tanto el número como contenido intelectivo sino más bien el número como tipo intelectivo. Sin embargo, si definimos así la "matemática pura" como "la ciencia de los números" y definimos a éstos como "signos creados por nosotros para expresar facultades ordenadoras de nuestro entendimiento", se plantea con mucho mayor urgencia la pregunta por el contenido de verdad de esos mismos signos. ¿Son meros signos sin ningún significado objetivo o tienen algún fundamentum in re? Y, en este último caso, ¿dónde debemos buscar ese fundamento? ¿Nos es proporcionado en forma conclusa por la "intuición" o tiene que ser conquistado y asegurado fuera o independientemente de todos los datos de la intuición a través de actos propios de la razón y de la pura espontaneidad del pensamiento? Con estas cuestiones nos situamos en el centro espiritual de la lucha metodológica librada actualmente en relación con sentido y contenido de los conceptos matemáticos básicos. Nosotros no podemos descender a los detalles de esa lucha ni tampoco referirnos a su origen sino que simplemente nos planteamos la cuestión de lo que ella significa en relación con nuestro propio problema fundamental y lo que nos podría enseñar al respecto.	Cassirer Formas Simbólicas III III
Si con base en estas consideraciones teóricas generales tratamos de precisar y resumir nuevamente la posición que ocupa el número en el sistema total de la matemática, vemos que para ello es necesario distinguir con claridad dos factores que en la evolución histórica del problema se han cruzado con frecuencia y se han englobado mutuamente de muchas maneras. Ya en la teoría pitagórica encontramos un peculiar titubeo en la expresión de la idea fundamental. La fórmula básica, según la cual todo lo existente es esencialmente número, aparece junto a otras fórmulas según las cuales todo ser "imita" al número participando de él en virtud de esa imitación. En los fragmentos de Filolao se dice no sólo que las cosas son números sino también que todo lo cognoscible, sea cual fuere por lo demás su naturaleza, tiene su número. Ese "tener" un número aparece a primera vista como una relación difícil de captar, como una relación curiosamente ambigua, ya que entraña unidad y diferencia, identidad y diversidad; mantiene la separación entre "ser" y "número", pero al mismo tiempo mide al uno por medio del otro, uniéndolos así de manera indisoluble. En repetidas ocasiones amenaza con surgir una antítesis dialéctica de esa tensión original de ambos motivos. La matemática moderna apenas ha creado los medios para conservar esa tensión, pero controlándola al mismo tiempo intelectualmente. Ella ha comprendido la polaridad que surge aquí, pero al mismo tiempo la ha desarrollado y ha hecho de ella una pura correlación. Vemos ahora que el campo de objetos que conciernen a la matemática no puede reducirse a la mera cantidad, al número o a la magnitud. Sin embargo, por otra parte subsiste la constante referencia de todos los objetos matemáticos al número y a su forma básica de orden. De ahí que el mismo camino que conduce más allá del número conduzca también constantemente de regreso a él. A fin de obtener una visión de la estructura intelectual de la matemática moderna es necesario considerar ambas tendencias. Por mucho que trascienda, de acuerdo con su objeto, el reino de los números, permanece apegada metodológicamente a él. "En consonancia con la nueva evolución de nuestra ciencia —hace notar Hermann Weyl— se ha encontrado que la vieja explicación de la matemática como teoría del número y del espacio es demasiado estrecha; no cabe duda, sin embargo, que también en disciplinas como la geometría pura, el analysis situs, la teoría de grupos, etc., se establece desde un principio la relación de los números naturales con los objetos en cuestión." 39 Así pues, justamente en la ampliación de la matemática moderna se conserva la tendencia hacia la "aritmetización", apareciendo en ella con especial claridad. Todos los grandes pensadores que han dado su sello espiritual a la matemática del siglo XIX han contribuido a esa continua tarea. Gauss, quien llamó a la matemática "la reina de las ciencias", nombró a la aritmética "la reina de la matemática". En el mismo sentido reclamó Felix Klein una continua "aritmetización de la matemática". También el aseguramiento del conocimiento matemático pareció sujeto a ese camino. Así, por ejemplo, la demostración de no-contradicción de la geometría fue llevada a cabo por Hilbert presentando un procedimiento para poder correlacionar unívocamente los elementos y enunciados de la geometría con una multiplicidad puramente aritmética. Si resulta que (y por qué) en una multiplicidad semejante no pueden surgir contradicciones, se habrá asegurado con ello la "coherencia" del campo geométrico. Así pues, para Hilbert el orden de los números aparece como el último estrato fundamental de ese "pensamiento axiomático" característico de la matemática en cuanto tal. El procedimiento del método axiomático consiste en colocar cada vez más profundamente los fundamentos de los diversos campos del saber, pero una fundamentación y un aseguramiento verdaderamente radicales pueden apenas considerarse como alcanzados cuando se ha logrado anclar los axiomas de un campo en los axiomas del número. "Todo lo que puede ser objeto del conocimiento científico —escribe Hilbert al final de su exposición— en cuanto alcanza el grado de madurez necesario para constituir una teoría cae en el método axiomático y, con ello, indirectamente en el campo de la matemática. Penetrando en estratos cada vez más profundos de axiomas obtenemos también una visión cada vez más profunda de la esencia del pensamiento científico y vamos adquiriendo cada vez más conciencia de la unidad de nuestro saber. Bajo el signo del método axiomático la matemática parece llamada a ocupar un papel de primer orden en la ciencia en general." En todo ello nos percatamos de que lo que determina el carácter específico de la matemática moderna no es tanto el número como contenido intelectivo sino más bien el número como tipo intelectivo. Sin embargo, si definimos así la "matemática pura" como "la ciencia de los números" y definimos a éstos como "signos creados por nosotros para expresar facultades ordenadoras de nuestro entendimiento", se plantea con mucho mayor urgencia la pregunta por el contenido de verdad de esos mismos signos. ¿Son meros signos sin ningún significado objetivo o tienen algún fundamentum in re? Y, en este último caso, ¿dónde debemos buscar ese fundamento? ¿Nos es proporcionado en forma conclusa por la "intuición" o tiene que ser conquistado y asegurado fuera o independientemente de todos los datos de la intuición a través de actos propios de la razón y de la pura espontaneidad del pensamiento? Con estas cuestiones nos situamos en el centro espiritual de la lucha metodológica librada actualmente en relación con sentido y contenido de los conceptos matemáticos básicos. Nosotros no podemos descender a los detalles de esa lucha ni tampoco referirnos a su origen sino que simplemente nos planteamos la cuestión de lo que ella significa en relación con nuestro propio problema fundamental y lo que nos podría enseñar al respecto.	Cassirer Formas Simbólicas III III
El valor que tiene una construcción estrictamente "formalista" de la matemática cobra así un nuevo matiz. En sí casi no puede exagerarse ese valor; no sería excesivo decir que la matemática sólo podrá justificar y conservar su viejo rango de "ciencia estricta" en la medida en que se logre concluir con la tarea de "formalización" de la misma en el sentido de Hilbert, pues con ello habrá ocurrido otra vez ese milagro lógico fincado en la esencia misma de lo matemático, esto es, la pregunta por lo infinito se haría accesible al modo finito de decisión mediante procesos "finitos". Hilbert mismo considera que el verdadero mérito de su teoría consiste en que ella permite fundamentar metódicamente y asegurar la idea de lo infinito por medio de lo finito. Con todo, por mucho que el perfeccionamiento de lo matemático requiera la plena realización del punto de vista estrictamente formalista, este interés técnico-matemático no coincide sin más con el interés epistemológico. La crítica del conocimiento tiene que reclamar de nuevo el restablecimiento de la unidad entre ambos momentos básicos que la abstracción matemática distingue con razón. De hecho, "formalismo" e "intuicionismo" no se excluyen desde el punto de vista epistemológico ni son algo antitético, ya que justamente el significado de lo que se ha aprehendido en la intuición pura tiene que ser retenido y conservado mediante el proceso de formalización, tiene que ser incorporado al pensamiento como posesión siempre disponible. En ese sentido ya Leibniz, uno de los más rigurosos representantes del punto de vista estrictamente formalista, dejó de separar al conocimiento "intuitivo" del conocimiento "simbólico", vinculándolos de modo indisoluble. Según Leibniz el primero crea los fundamentos de la matemática y el segundo se ocupa de que a partir de esos fundamentos se llegue a conclusiones por medio de cadenas deductivas. El pensamiento no necesita, al seguir éste su camino, mirar de continuo las situaciones ideales sino que puede contentarse largos trechos con colocar en lugar de la operación con las "ideas" la operación con los "signos". Sin embargo, tiene que llegar al final a un punto en que pregunta por el "sentido" de los signos, exigiendo una interpretación material de lo que se expresa y representa por medio de éstos. Leibniz, por ejemplo, compara el simbolismo matemático con el telescopio o con el microscopio. Por más que ambos incrementen el poder visual del hombre, no pueden sustituirlo. Como forma de visión intelectual, el conocimiento matemático se basa en una función originaria y autónoma de la razón, la cual se sirve de los caracteres simbólicos como instrumento. A mi modo de ver, ni siquiera la gigantesca ampliación y profundización que Hilbert ha dado al formalismo matemático nos fuerza a revocar esa decisión de principio, ya que la construcción entera de su sistema de signos no hubiese sido posible si Hilbert no se hubiese fundado en los conceptos de orden y sucesión como "conceptos originarios". Los números de Hilbert, aunque sean tomados como meros signos, son siempre signos posicionales, esto es, están provistos de un cierto "índice" que permite reconocer el modo en que se suceden. Así pues, aun cuando concibamos a todos y cada uno de los signos sólo como objetos discretos, extralógicos y dados de modo puramente intuitivo, todos esos objetos no se encuentran nada más yuxtapuestos como elementos independientes unos de otros sino que poseen un cierto orden. Si partimos del objeto "cero" como signo inicial, en un cierto proceso llegamos al "siguiente" signo 0' y de éste a 0", 0'", etc. Esto no significa sino que los diversos signos, a fin de distinguirlos con seguridad, tienen que ser separados de acuerdo con un orden determinado, lo cual es ya un "contar" en el sentido estricto de la palabra. Las comillas que empleamos para distinguir al 0 del 0', al 0' del 0", etc. fungen ya como números en el sentido de una derivación puramente "ordinal" del concepto de número. En general puede decirse que al pensamiento "intuitivo" le corresponde la fundamentación del edificio matemático, mientras que al pensamiento simbólico le corresponde la construcción y el aseguramiento del mismo. Desde el punto de vista epistemológico, ambas tareas corresponden a diversos niveles. Para Hilbert la afirmación "en un principio era el signo" tiene validez en la medida en que él ve la tarea esencial de su teoría en evitar el error y en proteger al pensamiento matemático de toda contradicción. Sin embargo, aquello que sirve para evitar el error no es por ello ya la razón suficiente de la verdad. Esta razón sólo puede ser hallada en ciertos enlaces sintéticos del pensamiento que fundamentan la construcción de un cierto campo de objetos y hacen posible la dominación de ese campo a través de leyendas universales. Al lado de una lógica analítica, la cual ofrece una visión de conjunto completa sobre lo encontrado y sus conexiones sistemáticas, pedía Leibniz una logica inventionis, una lógica de la invención. En este sentido podría decirse que el formalismo constituye un instrumento indispensable para la lógica de lo encontrado, pero no revela el principio del "encontrar" matemático. En ocasiones Hilbert dice que su teoría persigue la finalidad de asegurar para siempre el poder estatal de la matemática frente a todos los "golpes de estado" que se han intentado contra el análisis clásico. Sin embargo, aunque la teoría de la demostración llegara un día a alcanzar plenamente su finalidad, el lógico y el epistemólogo tendrán siempre derecho de preguntar si las fuerzas llamadas a proteger al gobierno matemático son las mismas que fundaron el dominio de la matemática en el reino del espíritu y constantemente lo extendieron y aumentaron. El formalismo es un medio incomparable de "disciplina" de la razón matemática, pero por sí mismo no es capaz de explicar su existencia ni de justificarla en sentido "trascendental".	Cassirer Formas Simbólicas III III